Paradoks hazardzisty i regresja do średniej

Najsłynniejszym chyba przykładem sprzecznej z intuicją statystyki jest paradoks Monty’ego Halla. Masz wybór między trzema zamkniętymi drzwiami. Za jednymi z nich jest nagroda. Masz wybrać drzwi. Prowadzący tę grę, który wie, gdzie jest nagroda, otwiera jedne drzwi za którymi jest pusto (prowadzący wie, gdzie jest nagroda i umyślnie wybiera drzwi, za którymi jej nie ma), a następnie pyta cię, czy chcesz zmienić wybór na inne nieotwarte drzwi. Jeśli zmienisz wybór, twoje szanse wygrania rosną z 1/3 do 2/3. Jeśli nie natknąłeś się na ten problem wcześniej, może się to wydawać sprzeczne z intuicją, ale jest absolutnie poprawne.

 

Innym powszechnym błędem statystycznym jest paradoks hazardzisty. Ten błąd wynika z niepoprawnej intuicji, że wcześniejsze wyniki w jakiś magiczny sposób wpływają na przyszłe wyniki w systemie, w którym każdy element jest niezależny. Nazywa się to paradoksem hazardzisty, ponieważ gry są znakomitą scenerią dla tego błędu w myśleniu. Popatrzmy na ruletkę, gdzie koło ruletki obraca się, a ty obstawiasz numer, do którego wpadnie mała kulka. Możesz obstawić numer lub grupę, lub czerwone albo czarne (połowa numerów jest czerwona, połowa czarna, poza zerami, gdzie wygrywa kasyno). Powiedzmy, że czerwony numer pokazywał się przez ostatnie dziesięć razy, jak wpływa to na prawdopodobieństwo, że następnym razem będzie czerwony lub czarny? Jeśli gra jest uczciwa, to odpowiedź brzmi – wcale nie wpływa. Każde zakręcenie kołem ma być całkowicie niezależnym, losowym zdarzeniem, jak rzut monetą. Po passie jednego koloru ten drugi nie „musi” się pokazać, bo go przez pewien czas nie było.   

Niemniej złudzenie passy lub tego, że pewne wyniki “muszą” się pojawić, jest bardzo silne i takie myślenie jest niemal powszechne wśród hazardzistów. Wynika z naszej tendencji do rozpoznawania wzorów (apofenia), widzenia iluzorycznych wzorów w losowym szumie. Jak powiedział Carl Sagan, losowość jest grudkowata. To jest nasz inny statystyczny błąd – nasze intuicyjne poczucie tego, jak wygląda losowość, jest błędne. Losowy wzór, taki jak gwiazdy na niebie, jest bardziej nierówny i “grudkowaty” niż nasza intuicja. Ludzie poproszeni o narysowanie losowego wzoru na ogół tworzą wzór, który zdecydowanie nie jest losowy. Na przykład, jest zbyt jednolity i z równym rozłożeniem. Kiedy więc widzimy pozorną passę, nie widzimy losowości, widzimy wzór i używamy go do prognozowania przyszłych wyników.

Widzenie wzorów jest użyteczne, kiedy są one rzeczywiste, a więc ma sens to, że nasz mózg wyewoluował tę zdolność. Nasze mózgi mają jednak również zdolność ustalania, które wzory są rzeczywiste, a które nie są, ale równowaga tutaj na ogół nie jest optymalna. Mamy tendencję do olbrzymiego przeszacowywania realności wzorów. Może to być wynikiem nacisków ewolucyjnych – negatywne konsekwencje niedoszacowania wzorów są prawdopodobnie większe niż ich przeszacowywania. A także, widzenie rzekomych wzorów daje nam poczucie, że kontrolujemy sytuację, a my lubimy to uczucie. Myślimy więc, że możemy użyć tej wspaniałej mocy zdolności rozpoznawania wzorów, by ustalić, czy czarny „musi” się pojawić i używamy tej mocy, by zdobyć wielką wygraną. Kasyna uwielbiają to złudzenie, ponieważ wiedzą, że matematyka zawsze wygra.  

Niedawno zapytano mnie o paradoks hazardzisty i jego związek z regresją do średniej. Uznałem, że to jest świetny przykład, jak subtelne potrafią być statystyczne błędy logiczne. Oto pytanie:

“Wiem, że fakt, iż koło ruletki zatrzymało się na czerwonym 10 razy pod rząd, nie mówi mi NICZEGO o tym, gdzie zatrzyma się za 11. razem. Z drugiej strony wiem, że z czasem będzie tyle samo czarnych, co czerwonych numerów, więc – przynajmniej intuicyjnie – czarny wydaje się odrobinę bardziej prawdopodobny przy następnym obrocie w celu pchnięcia proporcji z powrotem do 50/50. Czy istnieje jakaś sprzeczność między tymi dwiema zasadami? Jeśli nie, jak rozwiążemy tę domniemaną sprzeczność? Jeśli tak, to czy nie musi istnieć ‘jakieś’ uzasadnienie dla ‘paradoksu’ hazardzisty?”

To jest świetne pytanie, a odpowiedzią jest zdecydowane “nie” – nie są one w konflikcie ze sobą. Powtórzmy: nacisk na myślenie, że przeszłość wpływa na przyszłe, niezależne wydarzenia, jest bardzo silny. Regresja do średniej nie jest siłą we wszechświecie, która zapewnia, że statystyka w końcu zgadza się, jest czystym prawdopodobieństwem. Nieprawdopodobne wydarzenia są nieprawdopodobne, prawdopodobne są prawdopodobne. Kiedy zdarza się coś nieprawdopodobnego, czy jest bardziej prawdopodobne, że po tym nastąpi nieprawdopodobne wydarzenie, czy prawdopodobne? Oczywiście, prawdopodobne wydarzenie, ponieważ jest zawsze większe prawdopodobieństwo, że zdarzy się prawdopodobne wydarzenie niż nieprawdopodobne. To może wydawać się oczywiste, kiedy mówię tak ogólnie, ale nie zawsze odchodzimy od szczegółów, by zobaczyć sytuację jako czyste prawdopodobieństwo. Regresja do średniej znaczy po prostu, że po niezwykłym (nieprawdopodobnym) wydarzeniu nastąpi bardziej prawdopodobne, przeciętne wydarzenie (ponieważ są one z natury bardziej prawdopodobne). I tyle.

Kiedy więc zawodowy sportowiec ma najlepszy rok lub grę w swojej karierze, prawdopodobnie w kolejnym roku osiągnie bliższe przeciętnych wyniki. To nic nie znaczy, nie ma pecha, nie jest przeklęty ani nic takiego. Po prostu doświadcza prawdopodobieństwa. Kiedy odczuwasz najgorsze objawy rozmaitych chorób, prawdopodobnie poczujesz się lepiej w przyszłości, ponieważ po skrajnych objawach prawdopodobnie pojawią się bardziej przeciętne. To jest regresja do średniej.   

Pozorny konflikt z regresją do średniej po dziesięciu czerwonych numerach pod rząd, jest tylko kolejną iluzją paradoksu hazardzisty. Częściowo wynika to z rozpoczęcia liczenia po  statystycznym fuksie i sądzeniu, że – poczynając od tego wybranego punktu – czarne i czerwone muszą wyrównać się z czasem. Ale nie muszą, bo włączasz dane, które już znasz i masz skrzywienie w jednym kierunku. Ten błąd z łatwością wślizguje się do badań i dlatego jako ogólną regułę nie należy włączać poprzednich danych. To jest inna, naprawdę subtelna stronniczość, która wpełza do naszego myślenia – nie branie pod uwagę tego, że metoda naszej obserwacji może nie być losowa. To jest główne źródło efektu potwierdzenia.

Mógłbym ciągnąć dalej sprawę błędów poznawczych, bo jest między nimi wiele interakcji. Mam nadzieję jednak, że to wystarczy. Niektórzy mogą nadal tkwić w problemie Monty’ego Halla wspomnianym powyżej. Ważne w tym wszystkim jest, że naprawdę  jesteśmy na bakier z logiką i prawdopodobieństwem, ale możemy kompensować nasze niedostatki i badać krytyczne myślenie. Ludzie mają także potężne narzędzie – możemy zapisać słowa. Możemy gromadzić wiedzę przez stulecia i zajmować się kolektywnym, skumulowanym metapoznaniem. Powinniśmy korzystać z tej niesłychanej mocy.  

 

Gambler’s Fallacy and the Regression to the mean

NeuroLogica Blog, 6 stycznia 2021

Tłumaczenie: Małgorzata Koraszewska